什么是倒数计算器？
倒数计算器把一个数字翻转过来。对于一个普通数字，它把这个数换成 1 除以这个数；对于一个分数，它把分子和分母互换。444 的倒数是 0.250.250.25，23\dfrac{2}{3}32 的倒数是 32\dfrac{3}{2}23，倒数也被称为乘法逆元，因为它是能够抵消乘以原数这个操作的那个值。
这个工具接受三种输入——一个普通小数、一个以分子和分母输入的分数，或者一个以整数部分加分数输入的带分数——并以最简分数和小数两种形式返回倒数。它还会以分数的形式显示原始值，让你能看清这次翻转是如何发生的。
“倒数”是什么意思？
一个非零数 xxx 的倒数，是与 xxx 相乘恰好得到 111 的那个数：
x⋅1x=1x \cdot \frac{1}{x} = 1x⋅x1=1
对于分数 ab\dfrac{a}{b}ba，倒数是把它上下颠倒过来得到的：
ab 的倒数=ba,a≠0\frac{a}{b} \text{ 的倒数} = \frac{b}{a}, \qquad a \neq 0ba 的倒数=ab,a=0
一个整数其实是分母为 111 的分数，所以同样的翻转规则也适用于它：444 的倒数，就是把 41\dfrac{4}{1}14 翻转，得到 14\dfrac{1}{4}41。一个小数同样也是一个分数，只要把它写成十的幂之上的分数——0.25=25100=140.25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}0.25=10025=41（最简形式）——翻转这个分数就得到 41=4\dfrac{4}{1} = 414=4。这正是为什么 444 和 0.250.250.25 互为倒数：它们各自抵消了对方的乘法。
为什么一个数乘以它的倒数等于 1
把一个分数乘以它翻转后的版本，会抵消每一个因子：
ab⋅ba=a⋅bb⋅a=1\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1ba⋅ab=b⋅aa⋅b=1
乘积的分子和分母是同一个量的两种写法，所以无论 aaa 和 bbb 是什么（只要两者都不为零），这个分数每次都会化简为 111。正是这一个性质，说明了倒数为什么重要：乘以倒数，就是”抵消”乘以原数的方式，而这恰好就是除以那个数的含义。
分数翻转规则
翻转一个分数就是整个操作，它也解释了带分数。像 −2 13-2\ \tfrac{1}{3}−2 31 这样的带分数，命名的是一个单独的有符号量，而不是两个独立的部分——负号属于整个带分数，而不只是属于整数部分：
−2 13=−(2+13)=−73-2\ \frac{1}{3} = -\left(2 + \frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{3}−2 31=−(2+31)=−37
翻转这个假分数，倒数就是 −37-\dfrac{3}{7}−73。符号从头到尾都附着在同一个量上——它不会单独跑到分子上，也不会消失，更不会在分数翻转之上再翻转一次。
为什么零没有倒数
其他每一个实数都恰好有一个倒数，但 000 没有，因为不存在满足 0⋅x=10 \cdot x = 10⋅x=1 的数。任何数乘以零都得到零，永远不会得到一，所以这个方程无解。把倒数写成 10\dfrac{1}{0}01 同样得不到一个数——除以零是没有定义的，而不是一个无穷大的结果——所以本计算器会把零的倒数报告为未定义，而不是显示一个数字。
分数相除时的倒数
除以一个分数，被定义为乘以它的倒数：
ab÷cd=ab⋅dc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}ba÷dc=ba⋅cd
“除以 23\dfrac{2}{3}32“和”乘以 32\dfrac{3}{2}23“是同一个操作，因为 32\dfrac{3}{2}23 正是 23\dfrac{2}{3}32 的倒数。这就是分数除法教学中”保留、变号、翻转”规则背后的机械原理：保留第一个分数，把除法变成乘法，把第二个分数翻转成它的倒数。
光学和电子学中的倒数
有两个日常公式完全建立在倒数之上，出现在与算术作业相去甚远的领域。
焦距。 薄透镜方程把物距和像距的倒数相加，得到焦距的倒数：
1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}f1=do1+di1
相机和望远镜镜头之所以用焦距来标注规格，正是因为这个方程让相加起来简洁的量，是倒数，而不是距离本身。
并联电阻。 并联的电阻以同样的方式组合——相加的是它们的倒数，而不是电阻值本身：
1R总=1R1+1R2+⋯+1Rn\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}R总1=R11+R21+⋯+Rn1
从结构上说，并联电阻计算器其实就是一个应用了三次的倒数计算器：先把每个电阻取倒数，把结果相加，再把总和取倒数，得到 R总R_{\text{总}}R总。
计算器是如何工作的？
选择输入类型：小数、分数，或带分数。
对于小数，直接输入数值——负数和小数都可以接受。
对于分数，以整数形式输入分子和分母。
对于带分数，输入整数部分、分子和分母；一个负的整数部分，会把符号加在整个带分数上，而不只是那一部分。
计算器会把你输入的内容转换成一个最简分数，使用整数运算而不是四舍五入的小数，所以分数结果永远精确——绝不是一个近似值。
它会把这个分数翻转过来得到倒数，同时以最简分数和小数两种形式显示。
计算示例
示例 1：4 的倒数
写成分数，444 是 41\dfrac{4}{1}14。
翻转：14\dfrac{1}{4}41。
写成小数：0.250.250.25。
验证：4×0.25=14 \times 0.25 = 14×0.25=1。
示例 2：0.25 的倒数
写成分数，0.250.250.25 的最简形式是 14\dfrac{1}{4}41。
翻转：41=4\dfrac{4}{1} = 414=4。
这正是示例 1 的逆过程——444 和 0.250.250.25 互为倒数。
示例 3：2/3 的倒数
翻转：32\dfrac{3}{2}23。
写成小数：1.51.51.5。
验证：23×32=66=1\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{6} = 132×23=66=1。
示例 4：−5 的倒数
写成分数，−5-5−5 是 −51-\dfrac{5}{1}−15。
翻转：−15-\dfrac{1}{5}−51。
写成小数：−0.2-0.2−0.2。
符号原样保留，因为 −5×−0.2=1-5 \times -0.2 = 1−5×−0.2=1，是一个正的乘积。
示例 5：1 的倒数
111 是唯一一个自身就是自己倒数的正数，因为 1×1=11 \times 1 = 11×1=1。
−1-1−1 是唯一具有同样性质的负数。
示例 6：−2 1/3 的倒数
写成假分数：−2 13=−73-2\ \tfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{3}−2 31=−37。
翻转：−37-\dfrac{3}{7}−73。
带分数的整数部分容易被误认为是唯一带符号的部分；这里符号属于整个量 2132\tfrac{1}{3}231，所以它落在翻转后分数的分子上，而不是单独落在分母上。
示例 7：0 的倒数
不存在满足 0⋅x=10 \cdot x = 10⋅x=1 的数 xxx。
计算器会把这种情况报告为未定义，而不是显示一个数字或”Infinity”字样。
实用说明
倒数只对非零值有定义。任何计算结果为零的输入——包括分子为零的分数——都没有倒数。
取两次倒数会回到原来的数：对任意非零的 xxx，xxx 的倒数的倒数就是 xxx 本身。
分数结果永远是精确的，是对分子和分母进行整数运算得到的，而不是来自一个四舍五入的小数，所以像 777 的倒数——约为 0.1428570.1428570.142857，无限循环——这样的循环小数，依然有一个精确的分数形式 17\dfrac{1}{7}71。
一个负数和它的倒数永远同号，因为在乘积中，一个负数只能被另一个负数抵消。